Résolution de systèmes d'équations linéaires à deux inconnues
Le système de 2 équations linéaires à 2 inconnues est de la forme:
a
11x
1 + a
12x
2 = b
1
a
21x
1 + a
22x
2 = b
2
où x
1 et x
2 sont inconnues
a
11, a
12, a
21, a
22 sont les coefficients du système
b
1 et b
2 sont les second membres
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un système d'équations linéaires.
Calculatrice pour résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues 2x2.
Pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues 2x2 à l'aide de la calculatrice, il suffit d'entrer les coefficients du système et appuyez sur "Résoudre". Vous pouvez entrer des nombres entiers, les fractions et les décimales.
Résolution de systèmes d'équations linéaires par la règle de Cramer
Règle de Cramer est une formule explicite pour la solution un système d'équations linéaires avec autant d'équations que d'inconnues et dont le déterminant de la matrice de coefficients est non nul.
Considérons un système de n équations linéaires à n inconnues:
a
11x
1 + a
12x
2 + ...+ a
1nx
n = b
1
a
21x
1 + a
22x
2 + ...+ a
2nx
n = b
2
... ... ... ... ...
a
n1x
1 + a
n2x
2 + ...+ a
nnx
n = b
n
Matrice composée des coefficients de ce système est le carré.
Le déterminant de la matrice des coefficients:
Déterminant ce qu'on appelle le déterminant du système d'équations linéaires.
Posons
est le déterminant de la matrice carrée formée en remplaçant la jème colonne avec le membres de droite des équations du système
Ensuite, si le déterminant
(matrice est inversible ), le système admet une unique solution,
et cette solution est alors donnée par (la Règle de Cramer):
Depuis le calcul des déterminants pour des grands systèmes est lourd, la règle de Cramer est généralement utilisé pour des systèmes à deux et trois équations.
Considérons l'application de la règle de Cramer pour l'exemple.
Soit un système de deux équations linéaires à deux inconnues
En règle de Cramer nous obtenons
Méthode de Gauss pour la résolution de systèmes linéaires
Dans la méthode d'élimination de Gauss, aussi appelée pivot de Gauss, vous éliminer les inconnues en transformant le système d'équations en forme échelonnée par l'intermédiaire d'opérations de ligne. La matrice A devient alors triangulaire supérieure. Ensuite, le système est résolu par retour de substitution.
Nous allons résoudre le système d'équations suivant en utilisant la méthode d'élimination de Gauss.
Divisez la première équation par 3
Multiplier (*) par 4 et ajouter les temps -1 à la deuxième équation. Nous obtenons le système suivant:
De la deuxième équation y=2. En substituant cette valeur dans la première équation, on trouve
x.
Les solutions de système sont donc x=4, y=2.
Résoudre un système de deux équations linéaires : Méthode par substitution
L'idée principale de la méthode de substitution est de résoudre l'une des variables en fonction des autres (il n'est pas question que nous choisissons l'équation), puis remplacer le résultat dans une autre équation.
Résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues:
Exprimons
y en fonction de
x dans la première équation. On obtient y=4x-14.
Remplaçons donc
y par
4x-14 dans la première équation x =(16-2(4x-14))/3.
Résoudre la première équation nous obtenons x=4.
Remplaçons x par 4 dans la deuxième ligne, on obtient y = 2.
La calculatrice d'équations mémorise l'historique des calculs.
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